Norton- és Thevenin-tétel

Norton-tétel

Bármely villamos hálózat, amely kizárólag ellenállást, áramgenerátort vagy feszültséggenerátort tartalmaz, helyettesíthető két tetszőleges pontja felől egy valóságos áramgenerátorral, így egyszerűsítve a hálózatot.

Thevenin-tétel

Bármely villamos hálózat, amely kizárólag ellenállást, áramgenerátort vagy feszültséggenerátort tartalmaz, helyettesíthető két tetszőleges pontja felől egy valós feszültséggenerátorral, így egyszerűsítve a hálózatot.

Mi az a helyettesítés?

A helyettesítő kapcsolás azonos terhelés hatására ugyan olyan értékeket mutat feszültség, áramerősség és teljesítmény tekintetében. Komplex hálózat helyett egyetlen valós generátorral a számolások egyszerűbbek.

Helyettesítés lépései

1. Generátorok helyettesítése és eredő ellenállás

Minden feszültséggenerátort rövidzárral, az áramgenerátorokat pedig szakadással kell helyettesíteni, majd eredő ellenállást kell számolni a tetszőleges pontok között. Ez lesz a Norton vagy Thevenin ellenállás értéke.

2. Feszültség meghatározása a pontok között

Kiszámolható például feszültségosztással, vagy bármilyen tanult módszerrel. Azt kell meghatározni, hogy a hálózat kiválasztott két pontja közé helyezve egy voltmérő műszert az mekkora feszültséget mutatna.

3. Norton-áram számítása

A feszültség és ellenállás ismeretében az áram egyszerűen számolható.

$ I_n = \dfrac{U_{th}}{R_n} $

1. Példa feladat

$ U_1 = 10 \, [V] $

$ R_3 = 16 \, [Ω] $

$ R_1 = 12 \, [Ω] $

$ R_4 = 18 \, [Ω] $

$ R_2 = 14 \, [Ω] $

Megoldás:

A lépéseket elvégezve először ki kell számolni a két pont közötti eredő ellenállást a feszültségforrás nélkül, majd az eredeti kapcsolásban kimeneti feszültséget számolni, végül Ohm-törvénnyel megadni az áramot.

$ R_{AB} = (R_1 + R_2) \times (R_3 + R_4) $

$ R_{AB} = R_{th} = R_n = 14.73 \, [Ω] $

$ U_{ki} = U_1 ⋅ \dfrac{R_3 + R_4}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4 } $

$ U_{ki} = U_{th} = 5.667 \, [V] $

$ I_{n} = \dfrac{U_{th}}{R_n} = 0.385 \, [A] $

Eredmények:

$ U_{th} = 5.667 \, [V] $

$ R_{th} = 14.73 \, [Ω] $

$ I_n = 0.385 \, [A] $

$ R_n = 14.73 \, [Ω] $

2. Példa feladat

$ U_1 = 10 \, [V] $

$ R_3 = 16 \, [Ω] $

$ R_1 = 12 \, [Ω] $

$ R_4 = 18 \, [Ω] $

$ R_2 = 14 \, [Ω] $

$ R_5 = 20 \, [Ω] $

Megoldás:

A lépések ugyan azok, annyi különbséggel, hogy a kivezetésen lévő ellenállás nem kerül be a feszültségosztó képletbe. Ennek oka, hogy egy voltmérő végtelen ellenállású, a kimeneti feszültséget az R5 nem befolyásolja.

$ R_{AB} = (R_1 + R_2) \times (R_3 + R_4) + R_5 $

$ R_{AB} = R_{th} = R_n = 34.73 \, [Ω] $

$ U_{ki} = U_1 ⋅ \dfrac{R_3 + R_4}{R_1 + R_2 + R_3 + R_4 } $

$ U_{ki} = U_{th} = 5.667 \, [V] $

$ I_{n} = \dfrac{U_{th}}{R_n} = 0.163 \, [A] $

Eredmények:

$ U_{th} = 5.667 \, [V] $

$ R_{th} = 34.73 \, [Ω] $

$ I_n = 0.163 \, [A] $

$ R_n = 34.73 \, [Ω] $