Impedancia és számítása

Reaktancia jelentése

A tekercs egyenáram esetén rövidzárként, váltóáram esetén szakadásként viselkedik. Másképpen értelmezve egy tekercs 0 [Hz] frekvencián egy 0 [Ω]-os ellenállásnak felel meg, nagy frekvenciájú jelnél pedig nagy értékű, az analógiát egyszerűsítve végtelen ellenállásnak tekinthető. A kondenzátor ennek ellentéte, nagy frekvencián rövidzár, egyenáramnál pedig szakadás.

Azt lehet tehát mondani mindkét alkatrész esetében, hogy ellenállás szerű viselkedésük van, és ellenállásuk a frekvenciától függ. A reaktancia a tekercs vagy kondenzátor látszólagos ellenállása, mértékegysége Ohm.

Tekercs:

$ X_L = \omega ⋅ L $

Kondenzátor:

$ X_C = \dfrac{1}{\omega ⋅ C}$

Impedancia jelentése

Ha ismert minden alkatrész (látszólagos) ellenállása, akkor ezeknek megfelelő összegzésével egy RLC-körben ki lehet számolni az impedanciát, azaz váltakozóáramú ellenállást. Az impedancia egy komplex szám, amely összesíti az R, L és C alkatrészek hatásait, így különböző számolások végezhetők az áramkörben.

Soros RLC-kör impedanciája:

$ Z = R + j ⋅ (X_L - X_C) $

$ Z = R + j ⋅ \left(\omega ⋅ L - \dfrac{1}{\omega ⋅ C} \right) $

Impedancia kifejezése

Az impedancia, mint komplex szám ábrázolható bázisvektorként, ahol a vektor koordinátái a szám valós és képzetes részei. Ugyan ez a vektor azonban megadható koordinátái helyett a hosszával és hajlásszögével is.

Egy vektor kétféleképpen felírva:

$ Z = 8 + j ⋅ 3 $

$ Z = 8.544 \, \angle \, 20.56° $

Átváltás képletei:

$ |Z| = \displaystyle\sqrt{ R^2 + (X_L - X_C)^2 } $

$ \varphi = arctan \left( \dfrac{X_L - X_C}{R} \right) $

Áramerősség számítása

Polárkoordinátákkal (vektor hossza, szöge) fel lehet írni egy RLC-kör feszültségét és áramát komplex alakban. Ekkor a vektor hossza a csúcsérték, a hajlásszög a kezdőfázisszög. Az áramkör elemeinek impedanciája és a feszültség ismeretében kiszámolható az áram csúcsértéke és kezdőfázisszöge, az áramerősség függvénye.

Feszültség komplex alakban:

$ U(t) = U_{cs} ⋅ sin(\omega ⋅ t + \varphi_U) = U_{cs} \, \angle \, \varphi_U $

Áram az impedancia ismeretében:

$ I(t) = \dfrac{U(t)}{Z} $

$ I_{cs} \, \angle \, \varphi_I = \dfrac{U_{cs} \, \angle \, \varphi_U}{Z} $

Áramerősség függvénye:

$ I(t) = I_{cs} ⋅ sin(\omega ⋅ t + \varphi_I) $

További képletek

Az impedancia, mint komplex vektor hossza a csúcsértékek vagy RMS értékek hányadosából is számolható, valamint a párhuzamos RLC-kör impedanciája az ellenálláshoz hasonlóan reciprokokkal határozható meg.

Impedancia nagysága:

$ |Z| = \dfrac{U_{cs}}{I_{cs}} = \dfrac{U_{RMS}}{I_{RMS}} $

Párhuzamos RLC-kör impedanciája:

$ \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + j ⋅ \left( \dfrac{1}{X_C} - \dfrac{1}{X_L} \right) $