Hálózatszámítás

Hurokáramok módszere

A módszer lényege, hogy hurkonként felírható egy hurokáram, majd minden valódi áramot ezek segítségével ki kell fejezni. Mivel csökken a változók száma, így a huroktörvények hurokáramokkal kisebb rendű mátrixba rendezhetők, egyszerűbb a számolás. Végül a hurokáramokkal kiszámolható minden valódi áram értéke.

$ U_1 = 7 \, [V] $

$ R_3 = 10 \, [Ω] $

$ U_2 = 9 \, [V] $

$ R_4 = 12 \, [Ω] $

$ R_1 = 6 \, [Ω] $

$ R_5 = 14 \, [Ω] $

$ R_2 = 8 \, [Ω] $

$ R_6 = 16 \, [Ω] $

Áramok kifejezése a hurokáramokkal:

$ I_1 = I_A $

$ I_2 = I_A - I_B $

$ I_3 = -I_B $

Huroktörvények:

$ 14 ⋅ I_1 + 22 ⋅ I_2 = 7 $

$ - 22 ⋅ I_2 - 30 ⋅ I_3 = -9 $

Hurokáramok behelyettesítve:

$ 14 ⋅ I_A + 22 ⋅ (I_A - I_B) = 7 $

$ - 22 ⋅ (I_A - I_B) - 30 ⋅ ( - I_B) = -9 $

Egyszerűsítve és mátrixba rendezve:

$ \begin{bmatrix} \hfill 36 & -22 \\ -22 & \hfill 52 \end{bmatrix} ⋅ \begin{bmatrix} I_A \\ I_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hfill 7 \\ -9 \end{bmatrix} $

Megoldás (pl. Cramer szabály):

$ I_A = 0.1196 \, [A] = 119.6 \, [mA] $

$ I_B = - 0.1225 \, [A] = -122.5 \, [mA] $

$ I_1 = I_A = 119.6 \, [mA] $

$ I_2 = I_A - I_B = 242.1 \, [mA] $

$ I_3 = - I_B = 122.5 \, [mA] $

Csomóponti potenciálok módszere

A módszer lényege, hogy ki kell jelölni egy feszültségpontot és egy virtuális földpontot. A csomóponti törvény felírásakor minden áram az adott ág feszültségeinek és ellenállásainak hányadosa. Az előjelre is figyelni kell, hiszen vannak feltételezett áramirányok, de az áramnak a feszültségponttól a földpont irányába kell folynia. Ha a feltételezés ezzel ellentétes, akkor a feszültségpont negatív előjelű. Feszültségforrásoknál a feltételezett áramirányt követve ha a negatív pólus van előbb, akkor pozitív a képletben a feszültsége, különben negatív.

$ U_1 = 7 \, [V] $

$ R_3 = 10 \, [Ω] $

$ U_2 = 9 \, [V] $

$ R_4 = 12 \, [Ω] $

$ R_1 = 6 \, [Ω] $

$ R_5 = 14 \, [Ω] $

$ R_2 = 8 \, [Ω] $

$ R_6 = 16 \, [Ω] $

A K.Cs.T. és az Ohm-törvény:

$ I_1 - I_2 + I_3 = 0 $

$ I = \dfrac{U}{R} $

Áramerősségek felírása Ux segítségével:

$ I_1 = \dfrac{7 - U_x}{14} $

$ I_2 = \dfrac{U_x}{22} $

$ I_3 = \dfrac{9 - U_x}{30} $

Bővített K.Cs.T. felírása:

$ \left(\dfrac{7 - U_x}{14}\right) - \left(\dfrac{U_x}{22}\right) + \left(\dfrac{9 - U_x}{30}\right) = 0 $

$ U_x = 5.326 \, [V] $

Áramok Ux behelyettesítésével:

$ I_1 = 0.1196 \, [A] = 119.6 \, [mA] $

$ I_2 = 0.2421 \, [A] = 242.1 \, [mA] $

$ I_3 = 0.1225 \, [A] = 122.5 \, [mA] $